2020北京高考數(shù)學(xué)試卷權(quán)威解析

數(shù)學(xué)試卷整體分析

2021年高考數(shù)學(xué)北京卷落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，加強(qiáng)關(guān)鍵能力和素養(yǎng)的考查，通過“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”做好文理合卷，形成“一個(gè)中心，三個(gè)基本點(diǎn)，五條路徑”的評價(jià)體系。即以立德樹人為中心；以知識思想、能力素養(yǎng)、應(yīng)用文化為三個(gè)基本點(diǎn)；以優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)、精選試題素材、科學(xué)設(shè)計(jì)試題內(nèi)容、創(chuàng)新試題設(shè)問方式、凸顯試題發(fā)展功能為五條實(shí)施的路徑。

以立德樹人為命題的中心

北京卷命題以立德樹人為根本，突出試題的育人價(jià)值。如第15題關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活中的環(huán)境污染問題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注民生，樹立有責(zé)任的公民意識。

北京卷繼續(xù)堅(jiān)持對“四具備”人才的考查。如第9題，考查的是三角函數(shù)的知識，需要細(xì)致的觀察、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗透叨雀爬ㄕ?，找出角與三角函數(shù)值之間的關(guān)系；第20題的第（2）問，需要學(xué)生在計(jì)算過程中，一絲不茍，嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的精神。

總之，北京卷通過設(shè)置不同的問題情境，體現(xiàn)高考的育人功能。

●以知識思想、能力素養(yǎng)、應(yīng)用文化為命題的三個(gè)基本點(diǎn)

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，也是重大技術(shù)創(chuàng)新發(fā)展的基礎(chǔ)；而數(shù)學(xué)實(shí)力往往影響著國家實(shí)力。北京卷以知識思想、能力素養(yǎng)和應(yīng)用文化為命題的三個(gè)基本點(diǎn)，力圖把學(xué)生的數(shù)學(xué)真實(shí)實(shí)力考出來。

01

突出對主干知識和重要思想的考查

北京卷突出考查主干知識內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)通性通法。如對*、復(fù)數(shù)、向量、函數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何、解三角形、統(tǒng)計(jì)與概率、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等主要板塊的主干內(nèi)容進(jìn)行重點(diǎn)考查，充分體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)知識考查的基礎(chǔ)性、全面性和綜合性。

數(shù)學(xué)基本思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象與概括。北京卷第5、6、10、15題考查數(shù)形結(jié)合的思想；第8、19題考查函數(shù)與方程的思想；第10、13、16、21題考查化歸與轉(zhuǎn)化思想；第18題考查或然與必然的思想；第19、21題考查分類與整合的思想。

02

突出對數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的考查

北京卷突出對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大素養(yǎng)的綜合考查。

如第15題污水治理問題，主要考查學(xué)生的抽象概括、直觀想象能力。第18題是考查學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)。北京卷設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)性和綜合性問題，在現(xiàn)實(shí)情境中考查學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展水平。

03

突出對數(shù)學(xué)應(yīng)用和文化的考查

北京卷突出對數(shù)學(xué)應(yīng)用和文化的考查。數(shù)學(xué)應(yīng)用考查方面，北京卷關(guān)注社會，關(guān)注學(xué)生發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決生活實(shí)際問題。如第15題，選取具有時(shí)代特色的環(huán)境治理為情境創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)；第18題考查概率統(tǒng)計(jì)知識在數(shù)學(xué)和生活中的應(yīng)用，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)。

北京卷進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的考查，增強(qiáng)文化性。如第10題關(guān)注無理數(shù)的兩種計(jì)算方法：中國傳統(tǒng)的“割圓術(shù)”和數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的求解方法。既弘揚(yáng)了中國傳統(tǒng)文化，又引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)世界輝煌燦爛的數(shù)學(xué)文化。

●助力文理合卷新高考落地的五條路徑

根據(jù)考試內(nèi)容要求、考生群體變化、考生水平變化，北京卷在試題的文理合卷方面，遵循“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”的基本原則。通過優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)、精選試題素材、科學(xué)設(shè)計(jì)試題內(nèi)容、創(chuàng)新試題設(shè)問方式、凸顯試題發(fā)展功能等方面推進(jìn)新高考的改革，打造高考數(shù)學(xué)命題新形態(tài)。

01

優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，

推進(jìn)文理合卷順利實(shí)施

在保持測試時(shí)長和總分不變的前提下，北京卷優(yōu)化試卷的結(jié)構(gòu)，調(diào)整了選擇題、填空題和解答題的數(shù)量和分值。選擇題由原來的8道變?yōu)?0道，填空題由原來的6道變?yōu)?道。增加了主觀題的比例，主客觀題目比值為1.3:1。通過加強(qiáng)對主觀題的考查，為學(xué)生展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維能力搭建了平臺。

根據(jù)試題難度和要求，北京卷在試題的排列順序上也有所變化。如首次將立體幾何解答題放在解答題的第一題進(jìn)行考查。這種嘗試增強(qiáng)了試題靈活性，為引導(dǎo)教學(xué)、防止題型固化、命題方式固化起到積極的作用。

在試卷難度控制上，為了增強(qiáng)文科傾向考生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的獲得感，試題“入口易、口徑寬”，中低難度試題的分值占有一定的比例；為了繼續(xù)保持理科傾向考生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的成就感，試題“深入緩、出口難”，沒有降低綜合創(chuàng)新題的難度，依然具有較強(qiáng)的挑戰(zhàn)性，并保持了較好的區(qū)分度。

02

精選試題素材，

貼近學(xué)生的真實(shí)生活

北京卷試題素材的選取真實(shí)、自然、合理。如第15題通過以污水治理為背景設(shè)置題目，體現(xiàn)了十九大報(bào)告提出的“提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿足人民日益增長的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求；第18題通過活動方案支持度調(diào)查，體現(xiàn)了*決策過程。材料源于社會、源于真實(shí)情境，考查學(xué)生分析和解決具有實(shí)際意義問題的能力。

03

科學(xué)設(shè)計(jì)試題內(nèi)容，

回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)和學(xué)生的基礎(chǔ)

北京卷命題體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，遵循學(xué)生身心發(fā)展的規(guī)律。一是試題內(nèi)容緊扣課標(biāo)和教材，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引導(dǎo)教學(xué)回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，回歸學(xué)生的基礎(chǔ)。如第10題根據(jù)教材中提到的“割圓術(shù)”的部分思想改編而成，第16、17題都是立體幾何和三角部分的基礎(chǔ)性問題。

二是試題具有豐富的問題梯度，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。如第12、13題，都是設(shè)置兩空，第一空為第二空適當(dāng)做鋪墊。如第18題，學(xué)生在解決了第（1）問后，就會為第（2）問的解答提供基礎(chǔ)和臺階。試卷通過“多問把關(guān)”“多題把關(guān)”等方式，為不同水平的考生搭建了施展才華的舞臺。

04

創(chuàng)新試題呈現(xiàn)方式，

力求考出具有不同專業(yè)傾向

學(xué)生的真實(shí)水平

北京卷在試題上進(jìn)行適度創(chuàng)新，增強(qiáng)試題的選擇性和開放性。

一是設(shè)計(jì)條件或結(jié)論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題。如第14題，要求學(xué)生給出滿足條件的一個(gè)常數(shù)值，試題答案不唯一。學(xué)生需要根據(jù)已有的信息進(jìn)行猜想、探究和推理，從而得出結(jié)論。

二是設(shè)計(jì)分層賦分試題。第15題污水治理問題，從不同角度設(shè)置了4個(gè)選項(xiàng)，其中3個(gè)是正確的。

三是設(shè)計(jì)了結(jié)構(gòu)不良問題，需要學(xué)生自己選擇適當(dāng)?shù)臈l件進(jìn)行解決。如第17題的設(shè)問具有開放性，學(xué)生需要選擇條件①或條件②，用余弦定理或正弦定理去求解三角形。兩個(gè)問題需要的知識和方法有所不同，考查具有不同專業(yè)傾向的學(xué)生真實(shí)水平。

05

凸顯試題的價(jià)值功能，

為學(xué)生的終身發(fā)展打基礎(chǔ)

北京卷的命題，不僅體現(xiàn)人才的選拔功能，而且還引導(dǎo)學(xué)生去探索，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決職場與生活中的實(shí)際問題。如第18題，以學(xué)生熟悉的學(xué)校生活為背景來設(shè)計(jì)，重點(diǎn)考查抽樣，樣本估計(jì)總體，總體的概率推斷。第（1）問考查“樣本估計(jì)總體”的思想，現(xiàn)實(shí)生活中需要對總體做一些判斷，比如兩個(gè)男學(xué)生是否同時(shí)支持該方案的概率，或者更復(fù)雜的群體（如第（2）問中的群體）的支持度。除性別外，第（3）問考查不同年級的支持情況。作為校方，為了提高學(xué)生的支持度，需要加強(qiáng)對高年級的學(xué)生宣傳和方案完善。問題引導(dǎo)學(xué)生積極參與到學(xué)校的各項(xiàng)活動和決策中，這為學(xué)生未來的職業(yè)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

高考具有發(fā)展性功能，北京卷在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)的可持續(xù)思考中起到重要的作用。第21題需要學(xué)生運(yùn)用逆向思維、歸納、分類討論、反證法、最小數(shù)原理等數(shù)學(xué)思考方法，并能用數(shù)學(xué)的語言邏輯，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙懗鲎C明過程?？疾閷W(xué)生的一般化和概括遷移能力，有助于引導(dǎo)學(xué)生從做題到做事，為未來進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

2021年是文理合卷的第一年，疫情給高考命題帶來了新的問題和挑戰(zhàn)。北京卷以立德樹人為中心，著力于知識方法，能力素養(yǎng)，文化應(yīng)用的考查，依據(jù)“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”“多問把關(guān)”“多題把關(guān)”等基本原則進(jìn)行文理合卷的設(shè)計(jì)，形成了“一個(gè)中心，三個(gè)基本點(diǎn)，五條路徑”的評價(jià)體系。

引導(dǎo)教學(xué)在六個(gè)方面“下功夫”，即“在主干知識的掌握上下功夫”“在數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的理解上下功夫”“在數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟上下功夫”“在數(shù)學(xué)應(yīng)用探究上下功夫”“在創(chuàng)新思維形成上下功夫”“在數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成上下功夫”。

導(dǎo)向中學(xué)對“四具備”人才的培養(yǎng)，即“具備自覺的數(shù)量觀念的人”“具備嚴(yán)密推理邏輯的人”“具備高度抽象概括的人”“具備一絲不茍、精益求精作風(fēng)的人”。

2021年數(shù)學(xué)學(xué)科高考命題落實(shí)新高考文理合卷要求、保持命題總體穩(wěn)定的前提下，變中求穩(wěn)，穩(wěn)中求進(jìn)，不忘教育初心，牢記高考改革的使命，引導(dǎo)中學(xué)遵循教育規(guī)律，助力學(xué)生德智體美勞的全面發(fā)展。

數(shù)學(xué)試卷的特點(diǎn)

2021年高考北京數(shù)學(xué)試卷整體上符合國家課程標(biāo)準(zhǔn)要求，結(jié)合北京市高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，知識要素覆蓋全面，數(shù)學(xué)素養(yǎng)考查突出。與去年相比，在試卷結(jié)構(gòu)、分?jǐn)?shù)設(shè)置等方面有所調(diào)整，在題型分布、難度預(yù)設(shè)和梯度設(shè)計(jì)方面基本保持穩(wěn)定。試題設(shè)計(jì)圍繞高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，重點(diǎn)知識重點(diǎn)考查，通性通法著力考查；圍繞學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活實(shí)際，考查數(shù)學(xué)知識的綜合與應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化及教育價(jià)值。

●保持穩(wěn)定和連續(xù)性，穩(wěn)中有進(jìn)，適度創(chuàng)新

相比于去年，數(shù)學(xué)試卷總體穩(wěn)定，有利于考生穩(wěn)定心態(tài)，正常發(fā)揮；適度創(chuàng)新，有利于考查考生的實(shí)踐能力和鍥而不舍的精神。

相比于去年，數(shù)學(xué)試卷由兩套試卷（文理各一套）調(diào)整為一套試卷，試題題型依然是選擇題、填空題和解答題，每一部分題型的難度預(yù)設(shè)基本符合從易到難的分布。試題的表述形式簡潔、規(guī)范，圖文準(zhǔn)確并相互匹配，呈現(xiàn)方式及作答方式堅(jiān)持多樣化，延續(xù)了北京數(shù)學(xué)試卷“大氣、平和”的特點(diǎn)。

相比于去年，數(shù)學(xué)試卷在題量分布、分?jǐn)?shù)設(shè)置等方面均有變化，調(diào)整了部分考查內(nèi)容，出現(xiàn)了新穎的題目形式。例如選擇題由8個(gè)小題，每題5分，調(diào)整為了10個(gè)小題，每題4分，總分保持不變；填空題由6個(gè)小題，調(diào)整為了5個(gè)小題，每題依然是5分，總分由30分降為25分；解答題依然是6個(gè)小題，但總分由80分提升為85分。在考查內(nèi)容上有所調(diào)整，刪減了一些歷年常考的內(nèi)容，如線性規(guī)劃、算法和程序框圖、參數(shù)方程和極坐標(biāo)等。在題目呈現(xiàn)上出現(xiàn)了一些新的變化，用以區(qū)分不同能力水平的學(xué)生。例如第（17）題難度并不大，但思維的自由度較大，由考生自行選擇設(shè)計(jì)問題并解答，凸顯考生分析和解決問題的能力。

●堅(jiān)持考查基礎(chǔ)知識和基本技能，夯實(shí)基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)綜合

整份試卷注重對基礎(chǔ)知識和基本方法的考查，主干內(nèi)容重點(diǎn)考查。

例如，選擇題的前5道題和填空題前3道題，涉及內(nèi)容都是基礎(chǔ)知識和基本方法，考查了*、復(fù)數(shù)、二項(xiàng)式定理、三視圖、兩點(diǎn)間的距離公式、函數(shù)定義域、雙曲線的性質(zhì)、平面向量等內(nèi)容。

在試題設(shè)計(jì)上，這些試題涉及的知識點(diǎn)相對較少、思維相對簡單，易于解答。在此基礎(chǔ)上，試卷強(qiáng)調(diào)對主干內(nèi)容的重點(diǎn)考查，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)知識考查的全面性、基礎(chǔ)性和綜合性，在解答題中重點(diǎn)考查了立體幾何、三角函數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)、直線與圓錐曲線、數(shù)列綜合等主干內(nèi)容。解答題的前2道題，表述簡單明確，集中考查立體幾何和解三角形的主干知識及核心概念。再例如第（18）題，情境熟悉，問題清楚，重點(diǎn)考查讀題、讀表、計(jì)算等基本技能及方法。

●堅(jiān)持考查數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)本質(zhì)，能力立意，凸顯數(shù)學(xué)素養(yǎng)

試卷突出了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，在關(guān)注考生未來發(fā)展的同時(shí)，以能力立意，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，在選拔功能等方面都作了精心設(shè)計(jì)。

例如，第（6）題表面上是解不等式，實(shí)質(zhì)是在考查基本初等函數(shù)的圖像，有助于學(xué)生建立形與數(shù)的聯(lián)系，加深對事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律的理解和認(rèn)知，體現(xiàn)了直觀想象核心素養(yǎng)；第（18）題的解決需要學(xué)生分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中獲得有用信息并形成數(shù)學(xué)模型，注重了對公民應(yīng)具備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)——數(shù)據(jù)分析的考查；第（20）題考查了解析幾何中的主要方法，需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，并能夠程序化思考問題；第（21）題是以數(shù)列知識為背景的創(chuàng)新問題，梯度明顯，重點(diǎn)考查了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，對學(xué)生有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)交流能力有一定的要求。此外，從第（18）題到第（21）題，雖然每道題都考查了數(shù)學(xué)的主干知識和主要方法，入口也很容易，但其出口并不簡單，試題在讓不同層次的學(xué)生均有所獲得同時(shí)，進(jìn)行多題把關(guān)，體現(xiàn)了試題的選拔功能。

●重視數(shù)學(xué)應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值

應(yīng)用問題在素材選取上，源于社會實(shí)際和學(xué)生的真實(shí)生活，考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)、理性思維素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值。

例如第（15）題，以環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水處理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改這個(gè)情境為載體，貼近生活，是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后所沉淀下來的素養(yǎng)的考查，要求考生能夠在短時(shí)間內(nèi)審清題意，理清解決問題的思路，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題，體現(xiàn)試題的教育價(jià)值。例如第（10）題，以2021年3月14日全球首個(gè)國際圓周率日為背景，結(jié)合中國優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的“割圓術(shù)”及近代數(shù)學(xué)史上西方的阿爾·卡西法，感悟數(shù)學(xué)“近似計(jì)算”之美，將美育教育融入數(shù)學(xué)教育。引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注世界，學(xué)習(xí)世界燦爛的數(shù)學(xué)文化。例如第（18）題，以學(xué)生身邊的兩項(xiàng)活動方案來設(shè)置問題，考查概率統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)。這類問題重點(diǎn)考查數(shù)據(jù)處理能力，也增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)據(jù)表述及解決現(xiàn)實(shí)問題的意識。

縱觀整份試卷，在突出基本知識、基本技能和基本思想方法考查的同時(shí)，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。保持了北京試卷綜合、靈活的特色，變中求穩(wěn)，穩(wěn)中求進(jìn)，給不同能力水平的學(xué)生提供了展示的平臺，對今后的數(shù)學(xué)教學(xué)起到了積極的引導(dǎo)作用。