2019年高考數(shù)學沖刺復習 教你如何拿到雙曲線的分數(shù)

縱觀近幾年的高考數(shù)學試卷，我們會發(fā)現(xiàn)與雙曲線相關的題型幾乎年年都會考到，屬于重要考點。題型也比較豐富，如有選擇題、填空題、解答題的形式;考查的知識點有雙曲線的定義、標準方程、漸近線和離心率、雙曲線的性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關系等等。

跟雙曲線有關的選擇題或填空題一般分值為4分或5分，解答題甚至10分題目都會有。因此，考生對雙曲線的學習應加以重視。

要想學好雙曲線，我們可以“借用”其他幾個圓錐曲線內(nèi)容，如學習雙曲線的定義、標準方程和幾何性質(zhì)時，可以對橢圓的定義、標準方程和幾何性質(zhì)進行類比，找出它們的不同點，對比記憶，加深理解。

橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點F1，F(xiàn)2間的距離叫做橢圓的焦距。

雙曲線的定義：

平面內(nèi)與定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。

從橢圓和雙曲線的定義，我們可以看到兩種知識的聯(lián)系和區(qū)別，這也更好幫助我們理解和掌握好知識內(nèi)容。如要注意“常數(shù)”所滿足的條件以及絕對值所起的作用,要注意與橢圓中的有關式子進行比較,并加以區(qū)別。

典型例題分析1：

已知雙曲線的方程是16x2-9y2=144.

(1)求雙曲線的焦點坐標、離心率和漸近線方程;

(2)設F1和F2是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.

解：(1)由16x2-9y2=144得x2/9-y2/16=1，

所以a=3，b=4，c=5，

所以焦點坐標F1(-5,0)，F(xiàn)2(5,0)，離心率e=5/3，漸近線方程為y=±4x/3.

(2)由雙曲線的定義可知||PF1|-|PF2||=6，

cos ∠F1PF2=(|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2)/2|PF1||PF2|

={(|PF1|2-|PF2|)2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2}/2|PF1||PF2|

=(36+64-100)/64=0，

則∠F1PF2=90°.

要想正確解決雙曲線的問題，首先學好雙曲線的基本概念、知識點等等，如求雙曲線方程時,若不能確定焦點位置,要注意分類討論.若焦點所在的坐標軸不同,其漸近線方程的形式也不同。

區(qū)分雙曲線與橢圓中a、b、c的關系，在橢圓中a2=b2+c2，而在雙曲線中c2=a2+b2.雙曲線的離心率e>1;橢圓的離心率e∈(0,1)。

典型例題分析2：

設F1，F(xiàn)2是雙曲線x2-y2/24=1的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|=4|PF2|，則△PF1F2的面積等于 .

解析：由P是雙曲線上的一點和3|PF1|=4|PF2|可知，|PF1|-|PF2|=2，解得|PF1|=8，|PF2|=6.又|F1F2|=2c=10，所以△PF1F2為直角三角形，所以△PF1F2的面積S=(6×8)/2=24。

雙曲線作為高考的熱點內(nèi)容之一，在每年全國各地的高考試卷中，都會有相關的題型出現(xiàn)。一些復雜題型會以直線與雙曲線位置關系為背景的求雙曲線方程問題，要利用點差法處理弦中點與斜率問題等。

應用雙曲線的定義需注意的問題：

在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點的距離”。若定義中的“絕對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支。