2019年高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí) 教你如何拿到雙曲線的分?jǐn)?shù)

縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)試卷，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)與雙曲線相關(guān)的題型幾乎年年都會(huì)考到，屬于重要考點(diǎn)。題型也比較豐富，如有選擇題、填空題、解答題的形式;考查的知識(shí)點(diǎn)有雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線和離心率、雙曲線的性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系等等。

跟雙曲線有關(guān)的選擇題或填空題一般分值為4分或5分，解答題甚至10分題目都會(huì)有。因此，考生對(duì)雙曲線的學(xué)習(xí)應(yīng)加以重視。

要想學(xué)好雙曲線，我們可以“借用”其他幾個(gè)圓錐曲線內(nèi)容，如學(xué)習(xí)雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)時(shí)，可以對(duì)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)進(jìn)行類比，找出它們的不同點(diǎn)，對(duì)比記憶，加深理解。

橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離叫做橢圓的焦距。

雙曲線的定義：

平面內(nèi)與定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距。

從橢圓和雙曲線的定義，我們可以看到兩種知識(shí)的聯(lián)系和區(qū)別，這也更好幫助我們理解和掌握好知識(shí)內(nèi)容。如要注意“常數(shù)”所滿足的條件以及絕對(duì)值所起的作用,要注意與橢圓中的有關(guān)式子進(jìn)行比較,并加以區(qū)別。

典型例題分析1：

已知雙曲線的方程是16x2-9y2=144.

(1)求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程;

(2)設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.

解：(1)由16x2-9y2=144得x2/9-y2/16=1，

所以a=3，b=4，c=5，

所以焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-5,0)，F(xiàn)2(5,0)，離心率e=5/3，漸近線方程為y=±4x/3.

(2)由雙曲線的定義可知||PF1|-|PF2||=6，

cos ∠F1PF2=(|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2)/2|PF1||PF2|

={(|PF1|2-|PF2|)2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2}/2|PF1||PF2|

=(36+64-100)/64=0，

則∠F1PF2=90°.

要想正確解決雙曲線的問(wèn)題，首先學(xué)好雙曲線的基本概念、知識(shí)點(diǎn)等等，如求雙曲線方程時(shí),若不能確定焦點(diǎn)位置,要注意分類討論.若焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不同,其漸近線方程的形式也不同。

區(qū)分雙曲線與橢圓中a、b、c的關(guān)系，在橢圓中a2=b2+c2，而在雙曲線中c2=a2+b2.雙曲線的離心率e>1;橢圓的離心率e∈(0,1)。

典型例題分析2：

設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2-y2/24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF1|=4|PF2|，則△PF1F2的面積等于 .

解析：由P是雙曲線上的一點(diǎn)和3|PF1|=4|PF2|可知，|PF1|-|PF2|=2，解得|PF1|=8，|PF2|=6.又|F1F2|=2c=10，所以△PF1F2為直角三角形，所以△PF1F2的面積S=(6×8)/2=24。

雙曲線作為高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，在每年全國(guó)各地的高考試卷中，都會(huì)有相關(guān)的題型出現(xiàn)。一些復(fù)雜題型會(huì)以直線與雙曲線位置關(guān)系為背景的求雙曲線方程問(wèn)題，要利用點(diǎn)差法處理弦中點(diǎn)與斜率問(wèn)題等。

應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問(wèn)題：

在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)的距離”。若定義中的“絕對(duì)值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支。